蒙特·卡羅方法

概述：

　　蒙特卡羅方法，也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導的一類非常重要的數(shù)值計算方法。是指使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決很多計算問題的方法。與它對應的是確定性算法。蒙特卡羅方法在金融工程學，宏觀經濟學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）等領域應用廣泛。

基本思想：

　　當所求解問題是某種隨機事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。

　　工作過程

　　蒙特卡羅方法的解題過程可以歸結為三個主要步驟：構造或描述概率過程；實現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計量。

　　蒙特卡羅方法解題過程的三個主要步驟：

　?。?）構造或描述概率過程

　　對于本身就具有隨機性質的問題，如粒子輸運問題，主要是正確描述和模擬這個概率過 程，對于本來不是隨機性質的確定性問題，比如計算定積分，就必須事先構造一個人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機性質的問題轉化為隨機性質的問題。

　?。?）實現(xiàn)從已知概率分布抽樣

　　構造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構成的，因此產生已知概率分布的隨機變量（或隨機向量），就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機抽樣的原因。最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是（0，1）上的均勻分布（或稱矩形分布）。隨機數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機變量。隨機數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個簡單子樣，也就是一個具有這種分布的相互獨立的隨機變數(shù)序列。產生隨機數(shù)的問題，就是從這個分布的抽樣問題。在計算機上，可以用物理方法產生隨機數(shù)，但價格昂貴，不能重復，使用不便。另一種方法是用數(shù)學遞推公式產生。這樣產生的序列，與真正的隨機數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機數(shù)，或偽隨機數(shù)序列。不過，經過多種統(tǒng)計檢驗表明，它與真正的隨機數(shù)，或隨機數(shù)序列具有相近的性質，因此可把它作為真正的隨機數(shù)來使用。由已知分布隨機抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機序列來實現(xiàn)的，也就是說，都是以產生隨機數(shù)為前提的。由此可見，隨機數(shù)是我們實現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。

　?。?）建立各種估計量

　　一般說來，構造了概率模型并能從中抽樣后，即實現(xiàn)模擬實驗后，我們就要確定一個隨機變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏估計。建立各種估計量，相當于對模擬實驗的結果進行考察和登記，從中得到問題的解。

　　數(shù)學應用：

　　通常蒙特卡羅方法通過構造符合一定規(guī)則的隨機數(shù)來解決數(shù)學上的各種問題。對于那些由于計算過于復雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特·卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特·卡羅方法在數(shù)學中最常見的應用就是蒙特·卡羅積分。

應用領域：

　　蒙特卡羅方法在金融工程學，宏觀經濟學，生物醫(yī)學，計算物理學(如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算、核工程)等領域應用廣泛。

工作過程：

　　在解決實際問題的時候應用蒙特·卡羅方法主要有兩部分工作：

　　1． 用蒙特·卡羅方法模擬某一過程時，需要產生某一概率分布的隨機變量。

　　2． 用統(tǒng)計方法把模型的數(shù)字特征估計出來，從而得到實際問題的數(shù)值解。

　　分子模擬計算

　　使用蒙特·卡羅方法進行分子模擬計算是按照以下步驟進行的：

　　1． 使用隨機數(shù)發(fā)生器產生一個隨機的分子構型。

　　2． 對此分子構型的其中粒子坐標做無規(guī)則的改變，產生一個新的分子構型。

　　3． 計算新的分子構型的能量。

　　4． 比較新的分子構型于改變前的分子構型的能量變化，判斷是否接受該構型。

　　若新的分子構型能量低于原分子構型的能量，則接受新的構型，使用這個構型重復再做下一次迭代。 若新的分子構型能量高于原分子構型的能量，則計算玻爾茲曼因子，并產生一個隨機數(shù)。若這個隨機數(shù)大于所計算出的玻爾茲曼因子，則放棄這個構型，重新計算。 若這個隨機數(shù)小于所計算出的玻爾茲曼因子，則接受這個構型，使用這個構型重復再做下一次迭代。

　　5． 如此進行迭代計算，直至最后搜索出低于所給能量條件的分子構型結束。

　　項目管理

　　項目管理中蒙特·卡羅模擬方法的一般步驟是：

　　1．對每一項活動，輸入最小、最大和最可能估計數(shù)據，并為其選擇一種合適的先驗分布模型；

　　2．計算機根據上述輸入，利用給定的某種規(guī)則，快速實施充分大量的隨機抽樣

　　3．對隨機抽樣的數(shù)據進行必要的數(shù)學計算，求出結果

　　4．對求出的結果進行統(tǒng)計學處理，求出最小值、最大值以及數(shù)學期望值和單位標準偏差

　　5．根據求出的統(tǒng)計學處理數(shù)據，讓計算機自動生成概率分布曲線和累積概率曲線(通常是基于正態(tài)分布的概率累積S曲線)

　　6．依據累積概率曲線進行項目風險分析。

　　力學

　　在力學中，蒙特卡羅方法多被用來求解稀薄氣體動力學問題，其中最為成功的是澳大利亞G.A.伯德等人發(fā)展的直接模擬統(tǒng)計試驗法。此法通過在計算機上追蹤幾千個或更多的模擬分子的運動、碰撞及其與壁面的相互作用，以模擬真實氣體的流動。它的基本假設與玻耳茲曼方程一致，但它是通過追蹤有限個分子的空間位置和速度來代替計算真實氣體中分布函數(shù)。模擬的相似條件是流動的克努曾數(shù)（Kn）相等，即數(shù)密度與碰撞截面之積保持常數(shù)。對每個分子分配以記錄其位置和速度的單元。在模擬過程中分別考慮分子的運動和碰撞，在此平均碰撞時間間隔內，分別計算分子無碰撞的運動和典型碰撞。若空間網格取得足夠小，其中任意兩個分子都可以互相碰撞。具體決定哪兩個剛體分子相撞，是隨機取一對分子，計算它們的相對速度，根據此值與最大相對速度的比值和隨機取樣比較的結果，來決定該對分子是否入選。碰撞后分子的速度根據特定分子模型的碰撞力學和隨機取樣決定。分子與壁面碰撞后的速度，則根據特定的反射模型和隨機取樣決定。對于運動分子的位置和速度的追蹤和求矩可以得出氣體的密度、溫度、速度等一些感興趣的宏觀參量。而對于分子與壁面間的動量和能量交換的記錄則給出阻力、舉力和熱交換系數(shù)等的數(shù)學期望值。

發(fā)展運用：

　　從理論上來說，蒙特卡羅方法需要大量的實驗。實驗次數(shù)越多，所得到的結果才越精確。

　　從表中數(shù)據可以看到，一直到公元20世紀初期，盡管實驗次數(shù)數(shù)以千計，利用蒙特卡羅方法所得到的圓周率π值，還是達不到公元5世紀祖沖之的推算精度。這可能是傳統(tǒng)蒙特卡羅方法長期得不到推廣的主要原因。

　　計算機技術的發(fā)展，使得蒙特卡羅方法在最近10年得到快速的普及?，F(xiàn)代的蒙特卡羅方法，已經不必親自動手做實驗，而是借助計算機的高速運轉能力，使得原本費時費力的實驗過程，變成了快速和輕而易舉的事情。它不但用于解決許多復雜的科學方面的問題，也被項目管理人員經常使用。

　　借助計算機技術，蒙特卡羅方法實現(xiàn)了兩大優(yōu)點：

　　一是簡單，省卻了繁復的數(shù)學推導和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握

　　二是快速。簡單和快速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項目管理中獲得應用的技術基礎。

　　蒙特卡羅方法有很強的適應性，問題的幾何形狀的復雜性對它的影響不大。該方法的收斂性是指概率意義下的收斂，因此問題維數(shù)的增加不會影響它的收斂速度，而且存貯單元也很省，這些是用該方法處理大型復雜問題時的優(yōu)勢。因此，隨著電子計算機的發(fā)展和科學技術問題的日趨復雜，蒙特卡羅方法的應用也越來越廣泛。它不僅較好地解決了多重積分計算、微分方程求解、積分方程求解、特征值計算和非線性方程組求解等高難度和復雜的數(shù)學計算問題，而且在統(tǒng)計物理、核物理、真空技術、系統(tǒng)科學 、信息科學、公用事業(yè)、地質、醫(yī)學，可靠性及計算機科學等廣泛的領域都得到成功的應用。